Behindert unser unzureichendes Zahlenverständnis unser Problemlösen?

Eine der größten Errungenschaften der Mathematik ist sicherlich, dass Zahlen erfunden wurden, die als Basis für eine Sprache dienten, mit Hilfe derer man in der Lage war, Situationen und Thematiken so darzustellen und zu beschreiben, dass sie länder- und kulturübergeifend verständlich waren. Die mathematische Sprache hat also abstrahiert um zu vereinheitlichen. Diese Abstraktion, die ohne Frage wichtig ist, birgt allerdings auch Fallen, denen man sich bewusst sein muss, um nicht in diese zu tappen. Eine Falle besteht in dem Ignorieren von Qualitäten beim Verwenden von Zahlen im herkömmlichen Sinne. Bewusst ist mir dieser Fakt wieder geworden, als ich mit meiner Tochter, die derzeit die erste Klasse besucht, Rechnen geübt habe. Wenn wir den Kindern den Gedankengang beim Rechnen von Aufgaben wie 13+5 erklären wollen, benutzen wir häufig Objekte wie Stäbchen oder Murmeln (13 Murmeln und 5 Murmeln sind gleich 18 Murmeln). Das Wort gleich drückt aber eine Form der Qualität aus, denn es hängt davon ab von welchem Standpunkt diese Aussage getätigt wird. Diesen Fakt unterdrücken wir komplett, denn wir setzen alle Murmeln als gleich an. Durch die Einführung und Nutzung der Zahlen in der Mathematik, sind wir es also gewohnt exklusiv quantitativ zu denken.

Dieser Fakt ist aus meiner Sicht auch dafür verantwortlich, warum ganz häufig unangemessen mit komplexen Situationen in der Praxis umgegangen wird. Komplexe Situationen werden nämlich zu sehr trivialisiert, in dem Sie durch Algorithmen und den dazugehörigen Zahlen zu arg abstrahiert werden, so dass am Ende ein Modell entsteht, welches nicht mehr mit der wahrgenommenen Situation der Umwelt übereinstimmt. Damit werden dann auch alle Ergebnisse dieses Modells unbrauchbar. Um diese These zu belegen, möchte ich einen kleinen Exkurs in die Entstehung der Zahlen und ihre Kategorisierung wagen, bevor ich eine Gegenüberstellung von Zahlen mit Problemsituationen darlege. Mit dieser Gegenüberstellung möchte ich aufzeigen, warum komplexe Situationen, die uns heutzutage so viel Kopfzerbrechen bereiten, mit den herkömmlichen in allen Bildungseinrichtungen gelehrten Zahlen nicht handhabbar und dementsprechend auch nicht modellier- und lösbar sind.

Angefangen hat alles mit den natürlichen Zahlen. Kleinere Zahlen wie 1, 2, 3, … waren noch relativ einfach auszudrücken, in dem man Gegenstände dafür legte oder seine Finger benutzte. Problematischer wurde es dann bei größeren natürlichen Zahlen. Für das Ausdrücken wurden die großen natürlichen Zahlen zu Gruppen zusammengefasst, beispielsweise waren dies Zwölfer- und Sechzigereinheiten. Relikte aus dieser Zeit erkennen wir noch heute an den Zeit- und Winkelmessungen. Allerdings war das Rechnen mit diesen großen natürlichen Zahlen auch in diesen Gruppierungen schier unmöglich. Dafür wurden dann die Stellenwertsysteme erfunden. Gut bekannt ist das System zur Basis 10 (Dezimalsystem), mit welchem bereits die Kinder ab der ersten Klasse aufwachsen. Es gibt aber auch noch die Systeme zur Basis 2 (Dualsystem) und zur Basis 16 (Hexadezimalsystem). Bleiben wir kurz bei dem Dezimalsystem. Die Zahl 2145 in Dezimalschreibweise lautet 2*10^3+1*10^2+4*10^1+5*10^0. Der große Vorteil eines Stellenwertsystems ist, dass selbst die kompliziertesten Zahlenrechnungen auf das kleine Einmaleins zurückgeführt werden können, was dadurch dann selbst für die Schüler der unteren Schulklassen relativ schnell anwendbar wird. Wie wir allerdings wissen, sind nicht alle praktischen Probleme mithilfe natürlicher Zahlen beschreib- und lösbar. Die natürlichen Zahlen müssen also erweitert werden, in erster Instanz durch negative Zahlen, um beispielsweise die Gleichung 8+x=1 zu lösen. Es brauchte allerdings relativ lange, bis negative Zahlen Anerkennung fanden. Im 17. Jahrhundert waren sie teilweise noch verpöhnt. Diese Anerkennung wurde allerdings durch die fortschreitende Anwendung der Mathematik in der Finanzwirtschaft (Schulden) forciert. Die natürlichen zusammen mit den negativen Zahlen machen die ganzen Zahlen aus. Wann immer man Gleichungen der Art a+x=b zu lösen hat, in denen a und b exklusiv ganze Zahlen sind, muss man den Raum der ganzen Zahlen nicht verlassen. Anders sieht es bei den Punktoperationen aus. Nicht alle Gleichungen der Art a*x=b sind ausschließlich im Raum der ganzen Zahlen darstellbar, auch wenn a und b ganze Zahlen sind. Beispiele finden Sie sicherlich recht schnell. So kommen wir also zur nächsten Zahlenklasse, den rationalen Zahlen, die man auch als Brüche darstellen kann. Wenn wir ein bisschen mit den zu lösenden Gleichungen herumspielen, erkennen wir sehr schnell, dass auch die Brüche nicht ausreichen, um alle Gleichungen nur bis einschließlich den rationalen Zahlen darzustellen. Die Gleichung x*x=2 ist beispielsweise im Raum der rationalen Zahlen nicht lösbar. So gelangen wir zu den irrationalen Zahlen. Rationale und irrationale Zahlen spannen zusammen den Raum der reellen Zahlen auf.

Halten wir kurz inne und verbleiben bei den reellen Zahlen. Die derzeit angeführten Zahlenklassen werden in dieser Reihenfolge wie ich sie kurz eingeführt habe, auch in den Schulen den Kindern beigebracht. Das hat einen guten Grund, nämlich der Schwierigkeitsgrad. Natürliche Zahlen sind einfacher als ganze Zahlen, diese sind einfacher als rationale und diese wiederum einfacher als irrationale. Bei den irrationalen Zahlen unterscheidet man aber ebenfalls noch nach dem Schwierigkeitsgrad. Es gibt also einfache und schwierige irrationale Zahlen. Um den Schwierigkeitsgrad von Zahlen zu evaluieren, kann man ein kleines Rechenspiel durchführen: Spieler 1 nennt seinem Gegenspieler 2 eine Zahl x. Der Gegenspieler 2 muss aus dem x und unter Verwendung natürlicher Zahlen und der Operationen +, – und * eine Null erzeugen. Eine Zahl x heißt algebraisch, wenn dem Spieler 2 dies gelingt und transzendent, wenn dies nicht gelingt. Die Wurzel aus 3 ist irrational und algebraisch, denn x*x-3=0. Für die Kreiszahl Pi, die ebenfalls irrational ist, lässt sich dieses Spiel beispielsweise nicht gewinnen. Deshalb ist Pi transzendent und schwieriger als die Wurzel aus 3.

Reichen nun die reellen Zahlen aus, um alle praktischen Probleme zu lösen? Noch aus der Schulzeit wissend kennen wir die Antwort. Nein. Mit den reellen Zahlen kann man beispielsweise die Gleichung x*x=-1 nicht darstellen. Wir kommen also zu den komplexen Zahlen. Komplexe Zahlen entstehen, wenn man zu den reellen Zahlen die Wurzel aus -1 zufügt. Schaut man sich aber die reellen Zahlen auf einer Linie aufgespannt an, dann erkennt man keine Lücke. Zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen existieren wieder reelle Zahlen. Die komplexen Zahlen haben also auf dieser Linie keinen Platz mehr. Carl Friedrich Gauß war Anfang des 19. Jahrhunderts der erste, der die Frage formulierte, warum denn alle Zahlen auf einer Linie aufgereiht sein müssen. In einem zweidimensionalen Koordinatensystem bedeutet dies, dass die x-Achse alle reellen Zahlen darstellt und durch Zunahme der y-Achse, die den imaginären Bereich darstellt, die komplexen Zahlen gebildet werden. Auf der y-Achse wird also der eingebildete Teil dargestellt, mit i als Imaginärteil. Wird hier vielleicht die Integration zwischen Geist und Materie dargestellt? Ich habe dazu nichts in der Literatur gefunden, kann es mir aber gut vorstellen.

Bevor ich den Zusammenhang zwischen komplexen Zahlen und komplexen Sachverhalten aus meiner Sicht noch weiter ausführe, möchte ich ganz kurz auf Komplexität eingehen. Die Einteilung von Systemen nach ihren Charakteristika und den abgeleiteten Handlungsmotiven erkennen Sie in der folgenden Graphik.

Dave Snowden, von dem dieses so genannte Cynefin-Modell stammt, hat eine wie ich finde sehr geniale Einteilung der Systeme abgeleitet, die es uns erlaubt, verschiedene Typen von Systemen zu unterscheiden und dafür passende Entscheidungen für das Agieren in ihnen zu treffen. Details und weiteren Ausführungen finden Sie hier.

Komplexe Zahlen spannen also eine zweidimensionale Ebene auf. Die Menschen geben ihre Wahrnehmungen von der Umwelt ebenfalls zweidimensional wieder, in dem Sie Bilder malen. Erst mit den komplexen Zahlen ist es also überhaupt möglich, Begriffe mit Zahlen auszudrücken. Allein schon bei der begrifflichen Übereinstimmung von komplexen Zahlen und komplexen Problemen erkennt man die Überzeugung, denen die Menschen immer noch aufgesessen sind, das man mit Zahlen, die auf die klassische Aristotelische Logik fußen, komplexe Probleme handhaben kann, in dem man auf diese direkt einwirken, sie direkt steuern und managen kann. Das ist aber nicht der Fall, was wir wohl alle ganz deutlich an der Weltwirtschaftskrise gespürt haben. Denn was passiert auch bei den komplexen Zahlen nicht? Diese Zahlen bilden nur Quantitäten ab, keine Qualitäten. Subjektivitäten der einzelnen Beobachter und Beurteiler eines komplexen Sachverhalts können über komplexe Zahlen nicht abgebildet werden. Um dieses zu tun, muss man sich auf Gotthard Guenther berufen, der die qualitativen Zahlen erfunden hat inlusive der dazugehörigen Polykontexturalen Logik. Bemühen wir noch einmal die Metapher des Malen eines Bildes, um ein Problem zu beschreiben. Mehrere Beobachter einer Situation malen in der Regel verschiedene Bilder. Diese verschiedenen Bilder müssen aber eben auch in Zahlen darstellbar sein. Die komplexen Zahlen können das nicht. Das ist auch der Grund, warum in den Naturwissenschaften Subjektivitäten komplett ausgeschlossen sind. Oder haben Sie schon einmal von einem Experiment in der Physik oder Chemie gehört, in welchem die Subjektivtät des Experimentators Einklang gefunden hat? Es geht stets um objektive Erkenntnis von Subjekten.

Es werden in allen Bildungseinrichtungen die Zahlen immer nur bis zu den komplexen behandelt. Das gekoppelt mit dem Anspruch, alle Sachverhalte der Natur und Gesellschaft mechanistisch beherrschen zu wollen, lässt den Irrglauben der Menschen sich etablieren, dass die komplexen Zahlen ausreichend sind, um komplexe Sachverhalte zu beschreiben. Wir stehen also noch vor der gleichen Fragestellung vor der Plato seiner Zeit stand. Er war als Erster der Meinung, dass man Gegenstände und Objekte in Zahlen ausdrücken können müsste. Er kannte aber damals die komplexen Zahlen noch nicht und scheiterte daran. Das war der Grund, weshalb die komplexen Zahlen erfunden wurden. Wir sind aber trotzdem noch nicht viel weiter als Plato damals. Denn, die Zahlen, die eine subjektive Beschreibung komplexer Sachverhalte erlauben würden, nämlich die qualitativen Zahlen, werden von dem Maintream der Wissenschaften totgeschwiegen und Gotthard Guenthers Arbeiten als Scharlatanerie abgetan. Eine sehr gute Einführung zu den qualitativen Zahlen finden Sie in der Geschichte Morgen und Morgen von Claus Baldus.

Fazit: Die im Titel gestellte Frage ist aus meiner Sicht mit ja zu beantworten, obwohl ich betonen möchte, dass zwischen Zahlenverständnis und Problemhandhabung keine eineindeutige Beziehung besteht, was bedeutet, dass auch wenn wir die qualitativen Zahlen in unsere Mathematik einfließen lassen, so wie Gotthard Guenther es propagiert, es noch keine Garantie für das Handhaben von komplexen und chaotischen Problemen gibt. Es ist lediglich die Basis dafür.

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9 Responses to Behindert unser unzureichendes Zahlenverständnis unser Problemlösen?

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