Ökonomie – Was passiert eigentlich, wenn Mathematik nicht passfähig angewendet wird?

Modelle, nach denen wir Entscheidungen treffen, werden in meinen Augen oft zu wenig bis gar nicht hinterfragt und validiert. Obwohl das so wichtig wäre, denn nicht passfähige Modelle erzeugen nicht passfähige Entscheidungen und damit nicht passfähige Handlungen. Genau um diesen Fakt soll es in diesem Beitrag gehen, und zwar im Kontext der Ökonomie. Denn einige Gesetzmäßigkeiten, die in der Ökonomie vorherrschend sind und scheinbar wie Naturgesetze daher kommen, basieren auf nicht passfähigen mathematischen Modellen.

Ideen in diesem Kontext habe ich vor ein paar Jahren schon einmal im Beitrag namens Erkenntnisse der Mathematik werden falsch in die Wirtschaft portiert offenbart. Nun wurde ich auf dem diesjährigen LeanAroundTheClock 2019 wieder auf diese Problematik aufmerksam gemacht, nämlich von Stefan Röcker in der Themenbox der priomys, wo wir über NewWork diskutiert haben.

Im Rahmen dieser Diskussion warf Stefan das Buch Gier von Marc Elsberg in den Raum und erwähnte, dass in diesem Roman die mathematischen Modelle, auf denen unsere Ökonomie fußt, als nicht passfähig dargestellt werden. Da hat er mich als Mathematiker natürlich sofort gehabt. Ich habe mir am gleichen Tag das Buch bestellt und gelesen, nein verschlungen. 🙂

Elsberg deckt in diesem Buch in Romanform Fehler im mathematischen Fundament der Ökonomie auf, was letztendlich zu nicht passfähigen Entscheidungen und dann zu nicht passfähigen Handlungen führt. Hier findet man ein paar Hintergrundinformationen zum Anliegen dieses Buchprojektes.

Das Spiel

Der Autor lässt in dem Roman einen seiner Romanfiguren, Fitzroy Peel, anderen Menschen ein Spiel anbieten. In einer Kneipe schlägt er Folgendes vor. Einsatz je Spieler sind 100 Euro. Dann wird 100 Runden lang eine Münze geworfen. In jeder Runde wird bei Kopf 50% des derzeitigen Vermögens gewonnen und bei Zahl 40% verloren. Alle der angesprochenen Menschen in der Bar gehen das Spiel ein, natürlich im Gefühl des sicheren Gewinns. Wie rechnen diese Menschen? Würden Sie spielen?

Die Wahrscheinlichkeit für Kopf beträgt 50%, ebenso wie für Zahl. Wenn man nun diese Wahrscheinlichkeiten mit den Gewinn- und Verlustchancen kombiniert, erhält man den Erwartungswert.

Erwartungswert = 50% * (1 + 50%) + 50% * (1 – 40%) = 105%.

Bei dieser Rechnung steigt also das jeweilige Vermögen je Runde um 5%. Bei 100 Euro als Startvermögen beträgt der statistische Erwartungswert für das Gesamtvermögen nach 100 Runden also 13.150,13 Euro. Nach dieser Rechnung ist die Entscheidung, ob man das Spiel eingehen sollte oder nicht, klar. Auf jeden Fall spielen. Aber, ist die Rechnung richtig? Was wurde hier außer Acht gelassen?

Ergodizität

Für die Überprüfung der Passfähigkeit dieser Berechnung führe ich einen Begriff ein, die Ergodizität. Ergodizität ist eine Eigenschaft dynamischer Systeme. Ich zitiere Wikipedia.

Die Ergodizität bezieht sich auf das mittlere Verhalten eines Systems. Ein solches System wird durch eine Musterfunktion beschrieben, die die zeitliche Entwicklung des Systems abhängig von seinem aktuellen Zustand bestimmt. Man kann nun auf zweierlei Arten mitteln:

  1. Man kann die Entwicklung über einen langen Zeitraum verfolgen und über diese Zeit mitteln, also den Zeitmittelwert bilden, oder
  2. Man kann alle möglichen Zustände betrachten und über diese mitteln, also das Scharmittel (Ensemblemittel) bilden.

Streng ergodisch wird ein System dann genannt, wenn die Zeitmittel und Scharmittel mit der Wahrscheinlichkeit eins zum gleichen Ergebnis führen. Anschaulich bedeutet das, dass während der Entwicklung des Systems alle möglichen Zustände erreicht werden, der Zustandsraum also mit der Zeit vollständig ausgefüllt wird. Das bedeutet insbesondere, dass bei solchen Systemen der Erwartungswert nicht vom Anfangszustand abhängig ist.

Reflektieren wir diese Erkenntnis mal auf das Spiel. Das reine Werfen der Münze ist streng ergodisch. Nach 100 Würfen nähert sich das Vorkommen von „Kopf“ und „Zahl“ der 50% an. Alle möglichen Zustände, genau 2, „Kopf“ und „Zahl“, werden vollständig eingenommen. Der Erwartungswert 50% für „Kopf“ und „Zahl“ ist nicht abhängig davon, ob beim ersten Wurf „Kopf“ oder „Zahl“ geworfen wurde. Man könnte hier auch von statistischer Unabhängigkeit sprechen. Hier ist der Ensemblemittelwert zur Beschreibung dieses Systems passfähig. Was passiert aber bei der Hinzunahme der monetären Bewertung?

Spielen wir der Anschaulichkeit halber mal nur 2 Runden. In der 1. Runde fällt „Kopf“. Dann erhöht sich das Vermögen auf 150 Euro (plus 50%). In der 2. Runde fällt „Zahl“. Das Vermögen verringert sich auf 90 Euro (minus 40%). In der entgegengesetzten Reihenfolge, also erst „Zahl“ und dann „Kopf“, kommt man ebenfalls auf 90 Euro. Man erhält nach 2 Runden stets 90 Euro, obwohl „Kopf“ und „Zahl“ in gleicher Anzahl vorkommen. Man besitzt damit nach 2 Runden 10 Euro weniger als zum Spielbeginn. Hätten wir das vermutet? Die Gewinnrate ist höher als die Verlustrate und ich habe trotzdem weniger Vermögen. Wie kommt das?

Der Grund dafür ist die Nicht-Ergodizität des Systems, was dazu führt, dass der Ensemblemittelwert nicht mehr passfähig ist. Nun sollte man den anderen Mittelwert zu Rate ziehen, den Zeitmittelwert, da nun der so genannte Zinseszinseffekt ins Spiel kommt. Mit jeder Runde ändert sich die Berechnungsbasis. Es liegt keine statistische Unabhängigkeit mehr vor, da das Vermögen in Runde (n-1) entscheidend ist für das Vermögen in Runde n. Das war beim reinen Werfen der Münze nicht der Fall.

Menschen die eine Teilnahme am Spiel nach dem Zeitmittelwert bewerten, welcher für diese Situation passfähig ist, kommen zu der Entscheidung nicht zu spielen. Wir sehen also, dass unterschiedliche Modelle zu unterschiedlichen Entscheidungen führen. Das kann verheerend sein. Ich habe das Spiel in Excel simuliert und folgende Ergebnisse erhalten, die diese angesprochene Dynamik verdeutlichen. Wer die Datei haben mag, kann mich gerne anschreiben. Ich sende das Modell dann zu.

Was erkennt man in der Graphik, in der 4 verschiedene Simulationsläufe abgetragen sind? Wenn der sehr unwahrscheinliche Effekt auftritt, dass nach 100 Runden „Kopf“ um ein Vielfaches mehr als „Zahl“ auftritt, hat man eine Chance nach 100 Runden sein Vermögen zu vermehren. Dieser Effekt wird aber je mehr Runden man spielt immer unwahrscheinlicher. Deshalb geht die Wahrscheinlichkeit, dass man nach 200 Runden sein Vermögen vermehrt hat, hat gegen Null, da der Ensemblemittelwert 50% des Vorkommens von „Kopf“ und „Zahl“ immer mehr Realität wird. Die Berechnung, dass man je Runde sein Vermögen um 5% steigert, ist falsch.

Nach welcher Formel lässt sich denn nun der Zeitmittelwert berechnen? Wir haben oben 2 Runden kurz angedacht. Das ergibt also den Faktor 1,5 (50% gewinnen) * 0,6 (40% verlieren) = 0,9 (Nach 2 Runden: 100 Euro * 0,9 = 90 Euro). Wenn 100 Runden gespielt werden sollen, muss man diesen Faktor mit 50 potenzieren, da dieser Faktor für jeweils 2 Runden gilt. Damit kommt man auf die Zahl 0,005153775 (=0,950). Und diese Zahl muss man nun mit 100 multiplizieren (100 Euro Startwert). Man erhält also 0,515377521 Euro, also ca. 50 Cent.

Nimmt man den Zeitmittelwert als Basis für die Berechnung erhält man nach 100 Runden rund 50 Cent und nicht 13.150,13 Euro, wie nach dem Ensemblemittelwert. Krass, dieser Unterschied, oder? Mit dieser neuen Berechnung kommt man natürlich zum Ergebnis eher nicht zu spielen. Dieses Ergebnis erkennt man in den Ergebnissen der Simulation auch schon eher. 2 unterschiedliche mathematische Modelle führen also zu unterschiedlichen Entscheidungen.

Übertragung auf die Ökonomie

Der Autor lässt die Romanfiguren auf unglaublich spannende und einleuchtende Art und Weise auf Grundlage der Erkenntnis über die Unterschiede der beiden Mittelwerte weitere Überlegungen anstellen.

Unsere derzeitigen ökonomischen Modelle basieren auf dem Ensemblemittelwert. Das ist nicht passfähig, da dieser nur bei statistischer Unabhängigkeit anzuwenden ist, also wenn die Elemente eines Systems nicht interagieren. Komplexe Systeme, wie das ökonomische eines ist, sind aber eben aufgrund ihrer Vernetzung komplex und damit auch emergent. Das Ganze ist mehr (Das „Mehr“ verstehe ich nicht nur quantitativ, sondern vor allem auch qualitativ) als die Summe ihrer Teile. Aus dem Zusammenwirken der Elemente entstehen Eigenschaften, die aus den Elementen heraus nicht erklärbar sind.

Der Zeitmittelwert sollte in der Ökonomie Basis der Berechnungen und damit der Entscheidungen sein. Das ökonomische System ist nicht ergodisch, was relativ leicht erklärbar ist. Es werden in der Realität kaum alle möglichen Zustände im ökonomischen System eingenommen. Mit jeder Entscheidung, die man zum Zeitpunkt n trifft, werden bestimmte andere Zustände, die vor dieser Entscheidung noch wahrscheinlich waren, nun unwahrscheinlich und neue mögliche Zustände kommen hinzu. Das bedeutet, ähnlich wie bei dem Münzspiel ändert sich im ökonomischen System mit jeder getroffenen Entscheidung die Situation für kommende nachfolgende Entscheidungen und Handlungen. Die Berechnungsbasis ändert sich.

Durch diese Interaktionen der Elemente, im ökonomischen System sind das die Menschen, wird aber auch klar, dass Kooperation mehr zum Gemeinwohl beiträgt als Konkurrenz, was das Modell des Homo Oeconomicus auch ins Reich der Fabeln verweist. Unsere Welt ist durch unseren technologischen Fortschritt und die damit verbundene höhere Vernetzung eh komplexer geworden. Begegnen wir diesem Phänomen mit wenig Vernetzung (Interaktion) und damit mit weniger Kooperation und mit mehr Konkurrenz, verringern wir im jeweiligen System (z.B. Unternehmen) die Eigenkomplexität, was dazu führt, dass die Komplexität der Umwelt (z.B. Markt) schlechter zu handhaben ist (Ashbys Law). Diesen Fakt kennt man unter anderem auch aus dem Teamsport. Ein Team bestehend aus den besten Einzelspielern muss noch lange nicht gewinnen, und zwar genau dann nicht, wenn diese Einzelspieler nicht zusammen harmonieren.

Der Autor führt im Roman mit der so genannten Bauernfabel die Unterscheidung zwischen additivem (Ensemblemittelwert) und multiplikativem (Zeitmittelwert) Wachstum ein. Die Natur wächst eher multiplikativ, nicht additiv. Unsere ökonomischen Modelle basieren auf additivem Wachstum (Ensemblemittelwert), was nicht passfähig ist. Das haben wir gesehen. Man kann es sich aber auch auf andere Art und Weise leicht erklären. Wenn man nichts hat, kann man auch nicht einfach etwas generieren: 0 MAL irgendetwas bleibt Null. Das passt. 0 PLUS irgendetwas ist aber größer als 0. Das passt für die Ökonomie nicht.

Also Vorsicht beim Anwenden von Mathematik für die Berechnung von Entscheidungsbasen.

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13 Responses to Ökonomie – Was passiert eigentlich, wenn Mathematik nicht passfähig angewendet wird?

  1. Ich denke, die sog. Pyramidenspiele passen auch gut als Beispiel. Dürften sich mathematisch schön modellieren lassen (hat eher mit Exponentialfunktion in endlicher Grundgesamtheit zu tun).

    Das Buch “Fraktale und Finanzen” von Mandelbrot scheint mir auch ein gutes Beispiel für nicht passfähige Mathematik (Gauß’sche Normalverteilung auf Finanzprodukt – soweit ich es in Erinnerung habe). Dieser Finanzwelt-Fehler hat ja mal der realen Welt ziemlich viel Geld gekostet.

    Allerdings: den Schluss, dass Kooperation mehr zum Gemeinwohl beiträgt als Konkurrenz kann ich nicht nachvollziehen. Weder aus der Mathematik hier (aber ich bin kein Mathematiker) noch aus anderen Erwägungen. Auch die umgekehrte These (Konkurrenz trägt mehr als Kooperation bei) könnte ich nicht nachvollziehen. Da kommen meines Erachtens ganz andere Faktoren (Sozial-psychologische bzw. situative Rahmenbedingen) ins Spiel. Das “Gefangenen-Dilemma” gibt da gewisse Indikationen. Meine These ist da eher, dass beides seine Berechtigung hat und notwendig ist – wo und in welchem Ausmaß wäre allerdings vertieft zu diskutieren.

    Aber alles in allem: toller Beitrag für die Vertiefung des Themas Mathematik und wie sehr diese uns helfen kann, unserem “gesunden” Menschenverstand zu Misstrauen. Wie sehr wir aber gleichzeitig den sogenannen “Ökonomie-Experten”, welche die Mathematik als Beweis in die Argumentation einbringen, misstrauen sollten. Schlicht, weil diese Experten die Dinge nicht zu Ende denken oder falsche Prämissen in ein an sich mathematisch-widerspruchsfreien System ansetzen.

  2. Dein größter Fan says:

    Hallo Conny,

    anbei noch einige Gedanken deines größten Fans zu:

    Ökonomie – Was passiert eigentlich, wenn Mathematik nicht passfähig angewendet wird?

    Hierzu ein empfehlenswerter Link:

    https://www.mehr-fuehren.de/schwarmdummheit-in-unternehmen/

    Nehmen wir leben in einem Staat, in dem es für den Berufstitel “Arzt” keinerlei Qualifikationsnachweise bedarf.

    Arzt darf sich nennen, wenn es der Chef so in den Arbeitsvertrag schreibt.

    Die Abteilung erhält für jeden Arzt und behandelter Stunde X €. (Zeitvorgaben, strenge Fristen gibt es nicht.)

    Nehmen wir weiter an: es handelt sich um ein großes Krankenhaus. Der Chef der Abteilung bekommt den Bonus nach dem Gewinn der Abteilung, die Anzahl der geheilten Patienten, die Durchlaufzahl usw. ist hierfür keine KPI.

    Nehmen wir an vorher gab es kluge Chefs, denen der Boni egal war, sondern für die der Erfolg des Krankenhauses zählte (Wie viele Patienten wollen sich bei uns operieren lassen,…),

    Stellte nur Ärzte zu einem Gehalt von 100.000 €/Jahr ein

    Stellte nur Krankens./f. zu einem Gehalt von 50.000 €/Jahr für deren sp. Tätigkeiten

    und ungelernte zu 25.000 €/Jahr

    Du bist Chef, für die der Boni das wichtigste ist:

    Welche Mitarbeiter stellst du ein bzw. behältst du?

    Nehmen wir an in diesem Land gibt es eine Gesundheits-Offensive.

    Sollte dieses Land das Konzept anderer Länder übernehmen, in dem sich Arzt nur nennen kann, wer bestimmte Qualifizierungen nachweisen kann oder sollte der Chef bzw. das team weiterhin über den Titel entscheiden?

    ” Durch diese Interaktionen der Elemente, im ökonomischen System sind das die Menschen, wird aber auch klar, dass Kooperation mehr zum Gemeinwohl beiträgt als Konkurrenz,”

    Das Buch Gier von Marc Elsberg werde ich mir gleich bei unserer lokalen Buchhandlung bestellen.

  3. Martin says:

    Vielen Dank für Ihren Artikel, den ich mit großem Interesse gelesen habe.

    Was ich jedoch hier vermisse ist die Tatsache, dass im *Mittel* bei diesem Spiel tatsächlich ein Wert herauskommt, der erheblich höher als der Einsatz ist. Der Haken dabei ist, dass die Wahrscheinlichkeit dafür relativ gering ist.

    Auch ich habe mich hingesetzt und das Spiel einige (Millionen) Mal durchsimuliert. Dabei erhalte ich immer Ergebnisse, die in etwa das folgende Bild ergeben (bei 10 Millionen Durchläufen zu 100 Runden):

    Mean of 10000000 iterations: 11706.78 €
    Maximum value: 4.58e+9 €

    Values under 0: 0
    Values under 1: 5397986
    Values under 2.5: 6177967
    Values under 5: 6913776
    Values under 10: 7579081
    Values under 25: 8158265
    Values under 50: 8158265
    Values under 100: 8643993
    Values under 250: 9033972
    Values under 500: 9334181
    Values under 1000: 9557642
    Values under 2500: 9715446
    Values under 5000: 9823674
    Values under 10000: 9823674
    Values under 13150: 9894987
    Values over 13150 (+Inf): 105013

    Der Mittelwert schwankt zwar stark, liegt aber meist im Bereich 8000-16000€. Man erkennt am Histogramm jedoch, dass der hohe Mittelwert zum größten Teil durch Ausreißer (nach oben) erzeugt werden – hier etwa 0,1% der Runden, die über dem (naiv errechneten) Erwartungswert liegen. Das Spiel teilt also einigen wenigen sehr hohe Gewinne zu, und dem größten Teil aber meist einen kompletten Verlust. Über die Hälfte der Spieler erleidet quasi einen kompletten Verlust des Einsatzes (<1€ Rest am Ende der 100 Runden).

    Der Effekt verstärkt sich, wenn die Anzahl der "Runden" erhöht wird, etwa auf 200, und schwächt sich ab, wenn die Anzahl der Runden niedriger ist.

    Die Simulation zeigt meiner Meinung, dass auch die Berechnung "0,9^Runden" mathematisch nicht völlig korrekt sein kann, auch wenn der wahrscheinliche Ausgang für jeden einzelnen Spieler damit scheinbar erklärt werden kann.

    Leider kann ich nicht weiter mit mathematischen Erkenntnissen beitragen, wollte dennoch aufzeigen, dass hier noch mehr dahinterstecken muss.

    Mit freundlichem Gruß,
    Martin

    • Vielen Dank für Deine Replik, Martin.

      Was ich jedoch hier vermisse ist die Tatsache, dass im *Mittel* bei diesem Spiel tatsächlich ein Wert herauskommt, der erheblich höher als der Einsatz ist. Der Haken dabei ist, dass die Wahrscheinlichkeit dafür relativ gering ist.

      Genau darum ging es mir ja mit diesem Beitrag, nämlich um die Differenzierung von Mittelwerten, Ensemble- und Zeitmittelwert. Es ist nämlich entscheidend, welchen man für seine Entscheidung heran zieht. Und wie Du ja auch modelliert hast, wenn die Wahrscheinlichkeit gering ist, einen hohen Gewinn zu erzielen, rückt man wohl eher von dem Spiel ab. Diese Information fehlt aber beim Ensemblemittelwert.

      Coole Simulation. 🙂

      BG, Conny

  4. Hier wurde die im Beitrag angesprochene mathematische Theorie in einer schönen Geschichte simuliert. Diese Erkenntnis fehlt leider in der Ökonomischen Theorie, weshalb Kooperation in Entscheidungssituationen auch oft ausgespart wird.

  5. gerhard hagen says:

    hallo conny,
    auf deinen blog bin ich gestoßen, als ich – marc elsbergs buch (im ersten drittel) lesend – eine erklärung für den unterschied zwischen ensemble- und zeitmittelwert im internet suchte.
    danke für die erklärungen & kommentare hier!
    es gibt eine wunderbares buch eines philosophisch angehauchten finanzmathematikers und risikomanagers, das ebenfalls die inadäquate verwendung von mathematik im ökonomischen behandelt: von nassim nicholas taleb. sehr empfehlenswert!
    und ich muss mich jetzt empfehlen, um elsbergs buch weiter- und hoffentlich bald zu ende zu lesen. 😉
    mfg, gerhard
    [mathematik-lehrer an einer ahs in österreich]

  6. Hallo,
    ich bin auch an diesem Spiel hängen geblieben und habe mir Gedanken gemacht.
    Ich habe die ersten Runden in einem Baumdiagramm durchgespielt und komme zu folgende, für mich teils überraschenden, Erkenntnissen.

    Nach der ersten Runde gibt es die Varianten „150“ (= gewonnen) und „60“ (=verloren). Also ein Wert über und ein Wert unter 100. Ergibt zusammen 210, also 105 pro Variante und damit einen Erwartungswert E = 1,05

    Nach der zweiten Runde gibt es aber nicht nur die Varianten „90“ (= einmal gewonnen, einmal verloren) und „90“ (einmal verloren, einmal gewonnen), sondern die gleich wahrscheinlichen Varianten „225“ (zweimal gewonnen) und „36“ (zweimal verloren). Summe = 441, geteilt durch 4 ergibt 1,05^2 und damit E = 1,05. Interessant ist hierbei, dass 3 von den 4 Varianten (75%) unter dem Ausgangswert 100 liegen.

    Nach der dritten Runde gibt es die 8 Möglichkeiten „337,50“, „135“, „135“, „54“, „135“, „54“, „54“, „21,60“. Summe = 926,10. Geteilt durch 8 ergibt 1,05^3 und damit E = 1,05.
    Erstaunlicherweise liegen nun aber nur 4 Werte (50%) unter 100.

    Auch in den folgenden Runden liegt der Erwartungswert weiterhin bei E = 1,05.

    Die Anzahl der möglichen Varianten mit Endwert unter 100 liegen nach der vierten Runde bei 68,75%, nach der fünften Runde bei 50%, nach der sechsten Runde bei „65,63%“ und nach der siebten Runde wieder bei „50%“.

    Das erweckt den Eindruck, das nach jeder ungeraden Anzahl an Spielrunden die Werte unter und über 100 mit je 50% gleichverteilt sind und nach jeder geraden Anzahl an Spielrunden die Werte unter 100 über 50% liegen, sich aber den 50% hin annähern.

    Erklären kann ich dieses Phänomen nicht, daher poste ich es hier. Vielleicht kann es jemand in eine mathematische Formel fassen und verallgemeinern.

    Oder meinen Denkfehler finden

    Jedenfalls finde ich die Erklärung, dass nach zwei Runden mit je einmal verloren und gewonnen ein E=0,9 rauskommt, zwar auf der einen Seite richtig, aber zur Betrachtung des gesamten Spieles nicht ausreichend ist.

    Gemäß den Spielregeln von Fitzroy Peel erhält der Spieler aber nicht den Wert der von ihm erreichten Punktzahl, sondern nur das Doppelte seines Einsatzes, wenn er am Ende über 100 Punkte hat. Bei einer ungeraden Anzahl an Spielen wäre nach meiner Betrachtung das Spiel fair, bei einer geraden Anzahl an Spielen Fitzroy Peel im Vorteil. Von daher ist der Erwartungswert E=1,05 irrelevant, weil er zwar bei den Punkten erreicht wird, aber bereits einige wenige Ausreißer nach oben dazu führen können (siehe nach Runde 2). Der Wert sagt indes nichts darüber aus, wie die Anzahl der Endwerte über und unter 100 verteilt ist.

    • Hallo,

      erst einmal Dankeschön für das Reflektieren. Ja, in Deinem Gedankengang liegt ein Fehler vor. Du schreibst.

      Nach der zweiten Runde gibt es aber nicht nur die Varianten „90“ (= einmal gewonnen, einmal verloren) und „90“ (einmal verloren, einmal gewonnen), sondern die gleich wahrscheinlichen Varianten „225“ (zweimal gewonnen) und „36“ (zweimal verloren).

      Auch in der 2., in der 3. und in der x. Runde gibt es immer nur 2 Möglichkeiten, nämlich gewinnen oder verlieren mit jeweils einem neuen neuen möglichen Spielbetrag. Das bedeutet, nach jeder Spielrunde x gibt es nicht 2x neue mögliche Spielbeträge, sondern stets 2. Denn der neue mögliche Spielbetrag ist abhängig von der Historie. Nimm das Beispiel für Runde 2. Entweder habe ich in Runde 1 gewonnen oder verloren. Diese Entscheidung ist mit Beginn der Runde 2 fest gefallen und ist nicht mehr änderbar. Und genau dieses Ergebnis wird dann auch in Runde 2 relevant. Habe ich also in Runde 1 verloren, werden in Runde 2 damit die Optionen, die auf einen Spielbetrag für „Gewonnen in Runde 1“ aufbauen, irrelevant. In Deinem Entscheidungsbaum wirst Du für jedes Spiel von oben nach unten immer genau einen Weg gehen können, nicht mehrere und vor jeder neuen Verzweigung hast Du immer nur stets 2 Optionen.

      Das ist auch der von mir angesprochene Unterschied zwischen dem Ensemble- und dem Zeitmittlewert. Du hast den Ensemblemittelwert genommen, der in dieser Situation nicht passfähig ist. Der Zeitmittelwert ist passfähig, denn Ereignisse, die mit der Runde x entstanden sind, schließen Ereignisse, die vor dieser Runde x noch relevant waren für die kommende Runde aus und neue kommen ggf. hinzu.

      BG, Conny

  7. Hallo,
    vielen Dank für die schnelle Antwort.
    Ja, Du hast recht, als einzelner Spieler kann ich nur genau 1 Weg in diesem Baumdiagramm gehen.
    Aber Fitzroy spielt in dem Buch gegen mehrere Spieler gleichzeitig.
    Angenommen er spielt 7 Runden gegen insgesamt 128 Spieler. Dann wäre es möglich (wenn auch eher unwahrscheinlich), dass jeder der 128 Spieler einen unterschiedlichen Weg im Baumdiagramm geht. Mit dem Ergebnis, dass 64 Spieler über, und 64 Spieler unter 100 Punkten am Ende liegen. Bei einer Gewinnausschüttung von 2:1 würde das Spiel dann unentschieden für Fitzroy als “Bank” ausgehen.
    Und die Gesamtpunktzahl aller Spieler (die für die Gewinnausschüttung freilich irrelevant ist) würde 128*1,05^7 betragen.
    Oder denke ich hier auch falsch?

    • Du rechnest immer noch mit dem Ensemble-Mittelwert und nicht mit dem Zeitmittelwert.

      Wie errechnet sich der Zeitmittelwert für einen Spieler? Pro Runde hat jeder Spieler die Chance 50:50 zu verlieren/ zu gewinnen. Denken wir 2 Runden kurz an. Das ergibt also den Faktor 1,5 (50% gewinnen) * 0,6 (40% verlieren) = 0,9 (Nach 2 Runden: 100 Euro * 0,9 = 90 Euro). Wenn 7 Runden gespielt werden sollen, muss man diesen Faktor mit 3,5 potenzieren, da der Faktor 0,9 für jeweils 2 Runden gilt. Damit kommt man auf die Zahl 0,691590124 (=0,93,5). Und diese Zahl muss man nun mit 100 multiplizieren (100 Euro Startwert). Man erhält also 69,15 Euro, die jeder Spieler im errechneten Zeitmittelwert erspielt.

      Dabei sollte man bedenken, dass erst bei ganz vielen Runden dieser errechnete Wert immer mehr der Realität entspricht, da erst dann die Anzahl gewonnener und verlorener Runden sich den jeweils 50% annähern. Deshalb lässt Peel ja auch 100 Runden spielen und nicht 7.

      Dein Erwartungswert 1,05 ist falsch, da dieser für den Ensemblemittelwert gilt.

      BG, Conny

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