Mit Mathematik Epidemien, wie die bei COVID-19, verstehen

Ich möchte mit diesem Beitrag nicht in die Hysteriehörner rund um Corona blasen, sondern mittels eines kleinen mathematischen Modells die Ausbreitung der Viren erklärbarer machen. Letztendlich geht es um exponentielles Wachstum, welches für uns Menschen eher kontraintuitiv ist, da wir uns oft nicht vorstellen können, wie schnell sich eine Krankheit ausbreiten kann.

Das kleine mathematische Modell hat 2 Inputfaktoren. Diese Faktoren können wir Menschen beeinflussen.

  1. Der erste Faktor, im Modell mit der Variable a bezeichnet, ist die Anzahl der Menschen, die eine infizierte Person je Tag trifft.
  2. Der zweite Faktor b trägt die Wahrscheinlichkeit des Ansteckens bei einem Treffen einer infizierten und einer nicht infizierten Person.

Dann gibt es noch einen weiteren Faktor c, der die maximale Anzahl der Bevölkerung trägt. Wenn ich oben vom exponentiellen Wachstum gesprochen habe, dann muss ich mich hier korrigieren und vom logistischen Wachstum schreiben. Es gibt ja nicht unendlich viele Menschen auf der Erde, die sich anstecken könnten. Je mehr sich die Anzahl der infizierten Menschen dieser maximalen Anzahl annähert, desto weniger Menschen infizieren sich bei einem Treffen, was ja einsichtig ist, denn wenn sich 2 bereits infizierte Menschen treffen, gibt es keinen neuen infizierten Menschen, da beide bereits infiziert sind. Für diese eine Simulation setze ich den Faktor c auf 10.000.

Die folgende Abbildung enthält die Herleitung der Formel für den Bestand der infizierten Menschen je Tag.

Der Faktor (1-(Infiziertealt/c)), der in die Formel eingeschoben wurde, modelliert den oben beschriebenen Effekt, dass je mehr Menschen bereits infiziert sind, desto weniger Menschen sich bei einem Treffen infizieren können.

Für die Simulation habe ich die Wahrscheinlichkeit des Ansteckens bei einem Treffen einer infizierten und einer nicht infizierten Menschen auf 10% gesetzt. Das bedeutet in 1 von 10 Treffen wird ein nicht infizierter Menschen angesteckt, 9 bleiben nicht infiziert.

Die folgende Abbildung stellt 4 Simulationsergebnisse dar, bei denen ich einzig und allein die Anzahl der Menschen ändere, die eine infizierte Person je Tag trifft: 2, 4, 6 und 8.

Folgendes Ergebnis ist ersichtlich.

  1. Trifft ein infizierter Mensch bei einer Wahrscheinlichkeit von 10% der Ansteckung pro Tag 2 nicht infizierte Menschen sind nach einem Monat 233 Menschen infiziert.
  2. Trifft ein infizierter Mensch bei einer Wahrscheinlichkeit von 10% der Ansteckung pro Tag 4 nicht infizierte Menschen sind nach einem Monat 7.985 Menschen infiziert.
  3. Trifft ein infizierter Mensch bei einer Wahrscheinlichkeit von 10% der Ansteckung pro Tag 6 nicht infizierte Menschen sind nach einem Monat alle 10.000 Menschen infiziert.
  4. Trifft ein infizierter Mensch bei einer Wahrscheinlichkeit von 10% der Ansteckung pro Tag 8 nicht infizierte Menschen sind bereits nach 24 Tagen alle 10.000 Menschen infiziert.

Jetzt erkennen Sie sicher die Kontraintuitivität. Ein kleines Ändern der Anzahl der nicht infizierten Menschen, die ein infizierter Mensch pro Tag trifft, hat so enorme Auswirkungen in der Ausbreitung eines Virus.

Noch 2 Anmerkungen zum Schluss.

Es bleibt natürlich ein Modell und erklärt nur so viel, wie im Modell hinein modelliert wurde und das auch simplifiziert. Und diese hier modellierten Zusammenhänge sind nicht alleine auf die Corona-Epidemie zu beziehen, sondern auf alle Arten von Epidemien anwendbar. Es ist und bleibt stets unglaublich sinnvoll die Kontaktmöglichkeiten zwischen Menschen einzuschränken, um die Ausbreitung der Viren einzudämmen. Den Effekt erkennt man in der Simulation. Vorsicht im Umgang miteinander ist also stets geboten, ganz egal um welches Virus es sich handelt.

Welche Unterschiede nun zwischen dem Corona-Virus und anderen Viren der Epidemien und Pandimien der Vergangenheit bestehen, möchte ich hier gar nicht beleuchten, da ich auf diesem Gebiet kein Experte bin.

Falls Sie ebenfalls Interesse an einigen Simulationen haben, können Sie gerne das von mir erstellte Excel-Modell verwenden.

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