{"id":467,"date":"2011-05-04T11:03:44","date_gmt":"2011-05-04T10:03:44","guid":{"rendered":"http:\/\/blog-conny-dethloff.de\/?p=467"},"modified":"2012-11-28T07:28:06","modified_gmt":"2012-11-28T06:28:06","slug":"behindert-unser-unzureichendes-zahlenverstandnis-unser-problemlosen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog-conny-dethloff.de\/?p=467","title":{"rendered":"Behindert unser unzureichendes Zahlenverst\u00e4ndnis unser Probleml\u00f6sen?"},"content":{"rendered":"

Eine der gr\u00f6\u00dften Errungenschaften der Mathematik ist sicherlich, dass Zahlen erfunden wurden, die als Basis f\u00fcr eine Sprache dienten, mit Hilfe derer man in der Lage war, Situationen und Thematiken so darzustellen und zu beschreiben, dass sie l\u00e4nder- und kultur\u00fcbergeifend verst\u00e4ndlich waren. Die mathematische Sprache hat also abstrahiert um zu vereinheitlichen. Diese Abstraktion, die ohne Frage wichtig ist, birgt allerdings auch Fallen, denen man sich bewusst sein muss, um nicht in diese zu tappen. Eine Falle besteht in dem Ignorieren von Qualit\u00e4ten beim Verwenden von Zahlen im herk\u00f6mmlichen Sinne. Bewusst ist mir dieser Fakt wieder geworden, als ich mit meiner Tochter, die derzeit die erste Klasse besucht, Rechnen ge\u00fcbt habe. Wenn wir den Kindern den Gedankengang beim Rechnen von Aufgaben wie 13+5<\/em> erkl\u00e4ren wollen, benutzen wir h\u00e4ufig Objekte wie St\u00e4bchen oder Murmeln (13 Murmeln und 5 Murmeln sind gleich 18 Murmeln). Das Wort gleich<\/strong> dr\u00fcckt aber eine Form der Qualit\u00e4t aus, denn es h\u00e4ngt davon ab von welchem Standpunkt diese Aussage get\u00e4tigt wird. Diesen Fakt unterdr\u00fccken wir komplett, denn wir setzen alle Murmeln als gleich an. Durch die Einf\u00fchrung und Nutzung der Zahlen in der Mathematik, sind wir es also gewohnt exklusiv quantitativ zu denken. <\/p>\n

Dieser Fakt ist aus meiner Sicht auch daf\u00fcr verantwortlich, warum ganz h\u00e4ufig unangemessen mit komplexen Situationen in der Praxis umgegangen wird. Komplexe Situationen werden n\u00e4mlich zu sehr trivialisiert, in dem Sie durch Algorithmen und den dazugeh\u00f6rigen Zahlen zu arg abstrahiert werden, so dass am Ende ein Modell entsteht, welches nicht mehr mit der wahrgenommenen Situation der Umwelt \u00fcbereinstimmt. Damit werden dann auch alle Ergebnisse dieses Modells unbrauchbar. Um diese These zu belegen, m\u00f6chte ich einen kleinen Exkurs in die Entstehung der Zahlen und ihre Kategorisierung wagen, bevor ich eine Gegen\u00fcberstellung von Zahlen mit Problemsituationen darlege. Mit dieser Gegen\u00fcberstellung m\u00f6chte ich aufzeigen, warum komplexe Situationen, die uns heutzutage so viel Kopfzerbrechen bereiten, mit den herk\u00f6mmlichen in allen Bildungseinrichtungen gelehrten Zahlen nicht handhabbar und dementsprechend auch nicht modellier- und l\u00f6sbar sind.<\/p>\n

Angefangen hat alles mit den nat\u00fcrlichen Zahlen<\/strong>. Kleinere Zahlen wie 1, 2, 3, …<\/em> waren noch relativ einfach auszudr\u00fccken, in dem man Gegenst\u00e4nde daf\u00fcr legte oder seine Finger benutzte. Problematischer wurde es dann bei gr\u00f6\u00dferen nat\u00fcrlichen Zahlen. F\u00fcr das Ausdr\u00fccken wurden die gro\u00dfen nat\u00fcrlichen Zahlen zu Gruppen zusammengefasst, beispielsweise waren dies Zw\u00f6lfer- und Sechzigereinheiten. Relikte aus dieser Zeit erkennen wir noch heute an den Zeit- und Winkelmessungen. Allerdings war das Rechnen mit diesen gro\u00dfen nat\u00fcrlichen Zahlen auch in diesen Gruppierungen schier unm\u00f6glich. Daf\u00fcr wurden dann die Stellenwertsysteme erfunden. Gut bekannt ist das System zur Basis 10 (Dezimalsystem), mit welchem bereits die Kinder ab der ersten Klasse aufwachsen. Es gibt aber auch noch die Systeme zur Basis 2 (Dualsystem) und zur Basis 16 (Hexadezimalsystem). Bleiben wir kurz bei dem Dezimalsystem. Die Zahl 2145<\/em> in Dezimalschreibweise lautet 2*10^3+1*10^2+4*10^1+5*10^0<\/em>. Der gro\u00dfe Vorteil eines Stellenwertsystems ist, dass selbst die kompliziertesten Zahlenrechnungen auf das kleine Einmaleins zur\u00fcckgef\u00fchrt werden k\u00f6nnen, was dadurch dann selbst f\u00fcr die Sch\u00fcler der unteren Schulklassen relativ schnell anwendbar wird. Wie wir allerdings wissen, sind nicht alle praktischen Probleme mithilfe nat\u00fcrlicher Zahlen beschreib- und l\u00f6sbar. Die nat\u00fcrlichen Zahlen m\u00fcssen also erweitert werden, in erster Instanz durch negative Zahlen<\/strong>, um beispielsweise die Gleichung 8+x=1<\/em> zu l\u00f6sen. Es brauchte allerdings relativ lange, bis negative Zahlen Anerkennung fanden. Im 17. Jahrhundert waren sie teilweise noch verp\u00f6hnt. Diese Anerkennung wurde allerdings durch die fortschreitende Anwendung der Mathematik in der Finanzwirtschaft (Schulden) forciert. Die nat\u00fcrlichen zusammen mit den negativen Zahlen machen die ganzen Zahlen<\/strong> aus. Wann immer man Gleichungen der Art a+x=b<\/em> zu l\u00f6sen hat, in denen a<\/em> und b<\/em> exklusiv ganze Zahlen sind, muss man den Raum der ganzen Zahlen nicht verlassen. Anders sieht es bei den Punktoperationen aus. Nicht alle Gleichungen der Art a*x=b<\/em> sind ausschlie\u00dflich im Raum der ganzen Zahlen darstellbar, auch wenn a<\/em> und b<\/em> ganze Zahlen sind. Beispiele finden Sie sicherlich recht schnell. So kommen wir also zur n\u00e4chsten Zahlenklasse, den rationalen Zahlen<\/strong>, die man auch als Br\u00fcche darstellen kann. Wenn wir ein bisschen mit den zu l\u00f6senden Gleichungen herumspielen, erkennen wir sehr schnell, dass auch die Br\u00fcche nicht ausreichen, um alle Gleichungen nur bis einschlie\u00dflich den rationalen Zahlen darzustellen. Die Gleichung x*x=2<\/em> ist beispielsweise im Raum der rationalen Zahlen nicht l\u00f6sbar. So gelangen wir zu den irrationalen Zahlen<\/strong>. Rationale und irrationale Zahlen spannen zusammen den Raum der reellen Zahlen<\/strong> auf. <\/p>\n

Halten wir kurz inne und verbleiben bei den reellen Zahlen. Die derzeit angef\u00fchrten Zahlenklassen werden in dieser Reihenfolge wie ich sie kurz eingef\u00fchrt habe, auch in den Schulen den Kindern beigebracht. Das hat einen guten Grund, n\u00e4mlich der Schwierigkeitsgrad. Nat\u00fcrliche Zahlen sind einfacher als ganze Zahlen, diese sind einfacher als rationale und diese wiederum einfacher als irrationale. Bei den irrationalen Zahlen unterscheidet man aber ebenfalls noch nach dem Schwierigkeitsgrad. Es gibt also einfache und schwierige irrationale Zahlen. Um den Schwierigkeitsgrad von Zahlen zu evaluieren, kann man ein kleines Rechenspiel durchf\u00fchren: Spieler 1 nennt seinem Gegenspieler 2 eine Zahl x<\/em>. Der Gegenspieler 2 muss aus dem x<\/em> und unter Verwendung nat\u00fcrlicher Zahlen und der Operationen +, – und * eine Null erzeugen. Eine Zahl x<\/em> hei\u00dft algebraisch<\/strong>, wenn dem Spieler 2 dies gelingt und transzendent<\/strong>, wenn dies nicht gelingt. Die Wurzel aus 3<\/em> ist irrational und algebraisch, denn x*x-3=0<\/em>. F\u00fcr die Kreiszahl Pi<\/em>, die ebenfalls irrational ist, l\u00e4sst sich dieses Spiel beispielsweise nicht gewinnen. Deshalb ist Pi<\/em> transzendent und schwieriger als die Wurzel aus 3<\/em>.<\/p>\n

Reichen nun die reellen Zahlen aus, um alle praktischen Probleme zu l\u00f6sen? Noch aus der Schulzeit wissend kennen wir die Antwort. Nein. Mit den reellen Zahlen kann man beispielsweise die Gleichung x*x=-1<\/em> nicht darstellen. Wir kommen also zu den komplexen Zahlen<\/strong>. Komplexe Zahlen entstehen, wenn man zu den reellen Zahlen die Wurzel aus -1<\/em> zuf\u00fcgt. Schaut man sich aber die reellen Zahlen auf einer Linie aufgespannt an, dann erkennt man keine L\u00fccke. Zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen existieren wieder reelle Zahlen. Die komplexen Zahlen haben also auf dieser Linie keinen Platz mehr. Carl Friedrich Gau\u00df<\/em><\/strong> war Anfang des 19. Jahrhunderts der erste, der die Frage formulierte, warum denn alle Zahlen auf einer Linie aufgereiht sein m\u00fcssen. In einem zweidimensionalen Koordinatensystem bedeutet dies, dass die x-Achse alle reellen Zahlen darstellt und durch Zunahme der y-Achse, die den imagin\u00e4ren Bereich darstellt, die komplexen Zahlen gebildet werden. Auf der y-Achse wird also der eingebildete Teil<\/strong> dargestellt, mit i<\/em> als Imagin\u00e4rteil. Wird hier vielleicht die Integration zwischen Geist und Materie dargestellt? Ich habe dazu nichts in der Literatur gefunden, kann es mir aber gut vorstellen.<\/p>\n

Bevor ich den Zusammenhang zwischen komplexen Zahlen und komplexen Sachverhalten aus meiner Sicht noch weiter ausf\u00fchre, m\u00f6chte ich ganz kurz auf Komplexit\u00e4t eingehen. Die Einteilung von Systemen nach ihren Charakteristika und den abgeleiteten Handlungsmotiven erkennen Sie in der folgenden Graphik.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Dave Snowden, von dem dieses so genannte Cynefin-Modell stammt, hat eine wie ich finde sehr geniale Einteilung der Systeme abgeleitet, die es uns erlaubt, verschiedene Typen von Systemen zu unterscheiden und daf\u00fcr passende Entscheidungen f\u00fcr das Agieren in ihnen zu treffen. Details und weiteren Ausf\u00fchrungen finden Sie hier<\/a>.<\/p>\n

Komplexe Zahlen spannen also eine zweidimensionale Ebene auf. Die Menschen geben ihre Wahrnehmungen von der Umwelt ebenfalls zweidimensional wieder, in dem Sie Bilder malen. Erst mit den komplexen Zahlen ist es also \u00fcberhaupt m\u00f6glich, Begriffe mit Zahlen auszudr\u00fccken. Allein schon bei der begrifflichen \u00dcbereinstimmung von komplexen Zahlen<\/strong> und komplexen Problemen<\/strong> erkennt man die \u00dcberzeugung, denen die Menschen immer noch aufgesessen sind, das man mit Zahlen, die auf die klassische Aristotelische Logik fu\u00dfen, komplexe Probleme handhaben kann, in dem man auf diese direkt einwirken, sie direkt steuern und managen kann. Das ist aber nicht der Fall, was wir wohl alle ganz deutlich an der Weltwirtschaftskrise gesp\u00fcrt haben. Denn was passiert auch bei den komplexen Zahlen nicht? Diese Zahlen bilden nur Quantit\u00e4ten ab, keine Qualit\u00e4ten. Subjektivit\u00e4ten der einzelnen Beobachter und Beurteiler eines komplexen Sachverhalts k\u00f6nnen \u00fcber komplexe Zahlen nicht abgebildet werden. Um dieses zu tun, muss man sich auf Gotthard Guenther<\/em><\/strong> berufen, der die qualitativen Zahlen<\/strong> erfunden hat inlusive der dazugeh\u00f6rigen Polykontexturalen Logik. Bem\u00fchen wir noch einmal die Metapher des Malen eines Bildes, um ein Problem zu beschreiben. Mehrere Beobachter einer Situation malen in der Regel verschiedene Bilder. Diese verschiedenen Bilder m\u00fcssen aber eben auch in Zahlen darstellbar sein. Die komplexen Zahlen k\u00f6nnen das nicht. Das ist auch der Grund, warum in den Naturwissenschaften Subjektivit\u00e4ten komplett ausgeschlossen sind. Oder haben Sie schon einmal von einem Experiment in der Physik oder Chemie geh\u00f6rt, in welchem die Subjektivt\u00e4t des Experimentators Einklang gefunden hat? Es geht stets um objektive Erkenntnis von Subjekten.<\/p>\n

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Es werden in allen Bildungseinrichtungen die Zahlen immer nur bis zu den komplexen behandelt. Das gekoppelt mit dem Anspruch, alle Sachverhalte der Natur und Gesellschaft mechanistisch beherrschen zu wollen, l\u00e4sst den Irrglauben der Menschen sich etablieren, dass die komplexen Zahlen ausreichend sind, um komplexe Sachverhalte zu beschreiben. Wir stehen also noch vor der gleichen Fragestellung vor der Plato seiner Zeit stand. Er war als Erster der Meinung, dass man Gegenst\u00e4nde und Objekte in Zahlen ausdr\u00fccken k\u00f6nnen m\u00fcsste. Er kannte aber damals die komplexen Zahlen noch nicht und scheiterte daran. Das war der Grund, weshalb die komplexen Zahlen erfunden wurden. Wir sind aber trotzdem noch nicht viel weiter als Plato damals. Denn, die Zahlen, die eine subjektive Beschreibung komplexer Sachverhalte erlauben w\u00fcrden, n\u00e4mlich die qualitativen Zahlen, werden von dem Maintream der Wissenschaften totgeschwiegen und Gotthard Guenthers Arbeiten als Scharlatanerie abgetan. Eine sehr gute Einf\u00fchrung zu den qualitativen Zahlen finden Sie in der Geschichte Morgen und Morgen<\/a> von Claus Baldus.<\/p>\n

Fazit: Die im Titel gestellte Frage ist aus meiner Sicht mit ja zu beantworten, obwohl ich betonen m\u00f6chte, dass zwischen Zahlenverst\u00e4ndnis und Problemhandhabung keine eineindeutige Beziehung besteht, was bedeutet, dass auch wenn wir die qualitativen Zahlen in unsere Mathematik einflie\u00dfen lassen, so wie Gotthard Guenther es propagiert, es noch keine Garantie f\u00fcr das Handhaben von komplexen und chaotischen Problemen gibt. Es ist lediglich die Basis daf\u00fcr.<\/p><\/blockquote>\n\"1\"2\"3\"4\"5 (3<\/strong> Bewertung(en), Durchschnitt: 5.00<\/strong> von 5)
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