Im Rahmen dieser Diskussion warf Stefan das Buch Gier<\/a> von Marc Elsberg in den Raum und erw\u00e4hnte, dass in diesem Roman die mathematischen Modelle, auf denen unsere \u00d6konomie fu\u00dft, als nicht passf\u00e4hig dargestellt werden. Da hat er mich als Mathematiker nat\u00fcrlich sofort gehabt. Ich habe mir am gleichen Tag das Buch bestellt und gelesen, nein verschlungen. \ud83d\ude42<\/p>\n Elsberg deckt in diesem Buch in Romanform Fehler im mathematischen Fundament der \u00d6konomie auf, was letztendlich zu nicht passf\u00e4higen Entscheidungen und dann zu nicht passf\u00e4higen Handlungen f\u00fchrt. Hier<\/a> findet man ein paar Hintergrundinformationen zum Anliegen dieses Buchprojektes.<\/p>\n Der Autor l\u00e4sst in dem Roman einen seiner Romanfiguren, Fitzroy Peel, anderen Menschen ein Spiel anbieten. In einer Kneipe schl\u00e4gt er Folgendes vor. Einsatz je Spieler sind 100 Euro. Dann wird 100 Runden lang eine M\u00fcnze geworfen. In jeder Runde wird bei Kopf 50% des derzeitigen Verm\u00f6gens gewonnen und bei Zahl 40% verloren. Alle der angesprochenen Menschen in der Bar gehen das Spiel ein, nat\u00fcrlich im Gef\u00fchl des sicheren Gewinns. Wie rechnen diese Menschen? W\u00fcrden Sie spielen?<\/p>\n Die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr Kopf betr\u00e4gt 50%, ebenso wie f\u00fcr Zahl. Wenn man nun diese Wahrscheinlichkeiten mit den Gewinn- und Verlustchancen kombiniert, erh\u00e4lt man den Erwartungswert.<\/p>\n Erwartungswert = 50% * (1 + 50%) + 50% * (1 – 40%) = 105%.<\/p>\n Bei dieser Rechnung steigt also das jeweilige Verm\u00f6gen je Runde um 5%. Bei 100 Euro als Startverm\u00f6gen betr\u00e4gt der statistische Erwartungswert f\u00fcr das Gesamtverm\u00f6gen nach 100 Runden also 13.150,13 Euro. Nach dieser Rechnung ist die Entscheidung, ob man das Spiel eingehen sollte oder nicht, klar. Auf jeden Fall spielen. Aber, ist die Rechnung richtig? Was wurde hier au\u00dfer Acht gelassen?<\/p>\n F\u00fcr die \u00dcberpr\u00fcfung der Passf\u00e4higkeit dieser Berechnung f\u00fchre ich einen Begriff ein, die Ergodizit\u00e4t<\/a>. Ergodizit\u00e4t ist eine Eigenschaft dynamischer Systeme. Ich zitiere Wikipedia.<\/p>\n Die Ergodizit\u00e4t bezieht sich auf das mittlere Verhalten eines Systems. Ein solches System wird durch eine Musterfunktion beschrieben, die die zeitliche Entwicklung des Systems abh\u00e4ngig von seinem aktuellen Zustand bestimmt. Man kann nun auf zweierlei Arten mitteln:<\/p>\n Streng ergodisch wird ein System dann genannt, wenn die Zeitmittel und Scharmittel mit der Wahrscheinlichkeit eins zum gleichen Ergebnis f\u00fchren. Anschaulich bedeutet das, dass w\u00e4hrend der Entwicklung des Systems alle m\u00f6glichen Zust\u00e4nde erreicht werden, der Zustandsraum also mit der Zeit vollst\u00e4ndig ausgef\u00fcllt wird. Das bedeutet insbesondere, dass bei solchen Systemen der Erwartungswert nicht vom Anfangszustand abh\u00e4ngig ist.<\/p><\/blockquote>\n Reflektieren wir diese Erkenntnis mal auf das Spiel. Das reine Werfen der M\u00fcnze ist streng ergodisch. Nach 100 W\u00fcrfen n\u00e4hert sich das Vorkommen von \u201eKopf\u201c und \u201eZahl\u201c der 50% an. Alle m\u00f6glichen Zust\u00e4nde, genau 2, \u201eKopf\u201c und \u201eZahl\u201c, werden vollst\u00e4ndig eingenommen. Der Erwartungswert 50% f\u00fcr \u201eKopf\u201c und \u201eZahl\u201c ist nicht abh\u00e4ngig davon, ob beim ersten Wurf \u201eKopf\u201c oder \u201eZahl\u201c geworfen wurde. Man k\u00f6nnte hier auch von statistischer Unabh\u00e4ngigkeit sprechen. Hier ist der Ensemblemittelwert zur Beschreibung dieses Systems passf\u00e4hig. Was passiert aber bei der Hinzunahme der monet\u00e4ren Bewertung?<\/p>\n Spielen wir der Anschaulichkeit halber mal nur 2 Runden. In der 1. Runde f\u00e4llt \u201eKopf\u201c. Dann erh\u00f6ht sich das Verm\u00f6gen auf 150 Euro (plus 50%). In der 2. Runde f\u00e4llt \u201eZahl\u201c. Das Verm\u00f6gen verringert sich auf 90 Euro (minus 40%). In der entgegengesetzten Reihenfolge, also erst \u201eZahl\u201c und dann \u201eKopf\u201c, kommt man ebenfalls auf 90 Euro. Man erh\u00e4lt nach 2 Runden stets 90 Euro, obwohl \u201eKopf\u201c und \u201eZahl\u201c in gleicher Anzahl vorkommen. Man besitzt damit nach 2 Runden 10 Euro weniger als zum Spielbeginn. H\u00e4tten wir das vermutet? Die Gewinnrate ist h\u00f6her als die Verlustrate und ich habe trotzdem weniger Verm\u00f6gen. Wie kommt das?<\/p>\n Der Grund daf\u00fcr ist die Nicht-Ergodizit\u00e4t des Systems, was dazu f\u00fchrt, dass der Ensemblemittelwert nicht mehr passf\u00e4hig ist. Nun sollte man den anderen Mittelwert zu Rate ziehen, den Zeitmittelwert, da nun der so genannte Zinseszinseffekt ins Spiel kommt. Mit jeder Runde \u00e4ndert sich die Berechnungsbasis. Es liegt keine statistische Unabh\u00e4ngigkeit mehr vor, da das Verm\u00f6gen in Runde (n-1) entscheidend ist f\u00fcr das Verm\u00f6gen in Runde n. Das war beim reinen Werfen der M\u00fcnze nicht der Fall.<\/p>\n Menschen die eine Teilnahme am Spiel nach dem Zeitmittelwert bewerten, welcher f\u00fcr diese Situation passf\u00e4hig ist, kommen zu der Entscheidung nicht zu spielen. Wir sehen also, dass unterschiedliche Modelle zu unterschiedlichen Entscheidungen f\u00fchren. Das kann verheerend sein. Ich habe das Spiel in Excel simuliert und folgende Ergebnisse erhalten, die diese angesprochene Dynamik verdeutlichen. Wer die Datei haben mag, kann mich gerne anschreiben. Ich sende das Modell dann zu.<\/p>\n Was erkennt man in der Graphik, in der 4 verschiedene Simulationsl\u00e4ufe abgetragen sind? Wenn der sehr unwahrscheinliche Effekt auftritt, dass nach 100 Runden \u201eKopf\u201c um ein Vielfaches mehr als \u201eZahl\u201c auftritt, hat man eine Chance nach 100 Runden sein Verm\u00f6gen zu vermehren. Dieser Effekt wird aber je mehr Runden man spielt immer unwahrscheinlicher. Deshalb geht die Wahrscheinlichkeit, dass man nach 200 Runden sein Verm\u00f6gen vermehrt hat, hat gegen Null, da der Ensemblemittelwert 50% des Vorkommens von \u201eKopf\u201c und \u201eZahl\u201c immer mehr Realit\u00e4t wird. Die Berechnung, dass man je Runde sein Verm\u00f6gen um 5% steigert, ist falsch.<\/p>\n Nach welcher Formel l\u00e4sst sich denn nun der Zeitmittelwert berechnen? Wir haben oben 2 Runden kurz angedacht. Das ergibt also den Faktor 1,5 (50% gewinnen) * 0,6 (40% verlieren) = 0,9 (Nach 2 Runden: 100 Euro * 0,9 = 90 Euro). Wenn 100 Runden gespielt werden sollen, muss man diesen Faktor mit 50 potenzieren, da dieser Faktor f\u00fcr jeweils 2 Runden gilt. Damit kommt man auf die Zahl 0,005153775 (=0,950<\/sup>). Und diese Zahl muss man nun mit 100 multiplizieren (100 Euro Startwert). Man erh\u00e4lt also 0,515377521 Euro, also ca. 50 Cent.<\/p>\n Nimmt man den Zeitmittelwert als Basis f\u00fcr die Berechnung erh\u00e4lt man nach 100 Runden rund 50 Cent und nicht 13.150,13 Euro, wie nach dem Ensemblemittelwert. Krass, dieser Unterschied, oder? Mit dieser neuen Berechnung kommt man nat\u00fcrlich zum Ergebnis eher nicht zu spielen. Dieses Ergebnis erkennt man in den Ergebnissen der Simulation auch schon eher. 2 unterschiedliche mathematische Modelle f\u00fchren also zu unterschiedlichen Entscheidungen.<\/p>\n Der Autor l\u00e4sst die Romanfiguren auf unglaublich spannende und einleuchtende Art und Weise auf Grundlage der Erkenntnis \u00fcber die Unterschiede der beiden Mittelwerte weitere \u00dcberlegungen anstellen.<\/p>\n Unsere derzeitigen \u00f6konomischen Modelle basieren auf dem Ensemblemittelwert. Das ist nicht passf\u00e4hig, da dieser nur bei statistischer Unabh\u00e4ngigkeit anzuwenden ist, also wenn die Elemente eines Systems nicht interagieren. Komplexe Systeme, wie das \u00f6konomische eines ist, sind aber eben aufgrund ihrer Vernetzung komplex und damit auch emergent. Das Ganze ist mehr (Das \u201eMehr\u201c verstehe ich nicht nur quantitativ, sondern vor allem auch qualitativ) als die Summe ihrer Teile. Aus dem Zusammenwirken der Elemente entstehen Eigenschaften, die aus den Elementen heraus nicht erkl\u00e4rbar sind.<\/p>\n Der Zeitmittelwert sollte in der \u00d6konomie Basis der Berechnungen und damit der Entscheidungen sein. Das \u00f6konomische System ist nicht ergodisch, was relativ leicht erkl\u00e4rbar ist. Es werden in der Realit\u00e4t kaum alle m\u00f6glichen Zust\u00e4nde im \u00f6konomischen System eingenommen. Mit jeder Entscheidung, die man zum Zeitpunkt n trifft, werden bestimmte andere Zust\u00e4nde, die vor dieser Entscheidung noch wahrscheinlich waren, nun unwahrscheinlich und neue m\u00f6gliche Zust\u00e4nde kommen hinzu. Das bedeutet, \u00e4hnlich wie bei dem M\u00fcnzspiel \u00e4ndert sich im \u00f6konomischen System mit jeder getroffenen Entscheidung die Situation f\u00fcr kommende nachfolgende Entscheidungen und Handlungen. Die Berechnungsbasis \u00e4ndert sich.<\/p>\n Durch diese Interaktionen der Elemente, im \u00f6konomischen System sind das die Menschen, wird aber auch klar, dass Kooperation mehr zum Gemeinwohl beitr\u00e4gt als Konkurrenz, was das Modell des Homo Oeconomicus auch ins Reich der Fabeln verweist. Unsere Welt ist durch unseren technologischen Fortschritt und die damit verbundene h\u00f6here Vernetzung eh komplexer geworden. Begegnen wir diesem Ph\u00e4nomen mit wenig Vernetzung (Interaktion) und damit mit weniger Kooperation und mit mehr Konkurrenz, verringern wir im jeweiligen System (z.B. Unternehmen) die Eigenkomplexit\u00e4t, was dazu f\u00fchrt, dass die Komplexit\u00e4t der Umwelt (z.B. Markt) schlechter zu handhaben ist (Ashbys Law<\/a>). Diesen Fakt kennt man unter anderem auch aus dem Teamsport. Ein Team bestehend aus den besten Einzelspielern muss noch lange nicht gewinnen, und zwar genau dann nicht, wenn diese Einzelspieler nicht zusammen harmonieren.<\/p>\n Der Autor f\u00fchrt im Roman mit der so genannten Bauernfabel<\/a> die Unterscheidung zwischen additivem (Ensemblemittelwert) und multiplikativem (Zeitmittelwert) Wachstum ein. Die Natur w\u00e4chst eher multiplikativ, nicht additiv<\/a>. Unsere \u00f6konomischen Modelle basieren auf additivem Wachstum (Ensemblemittelwert), was nicht passf\u00e4hig ist. Das haben wir gesehen. Man kann es sich aber auch auf andere Art und Weise leicht erkl\u00e4ren. Wenn man nichts hat, kann man auch nicht einfach etwas generieren: 0 MAL irgendetwas bleibt Null. Das passt. 0 PLUS irgendetwas ist aber gr\u00f6\u00dfer als 0. Das passt f\u00fcr die \u00d6konomie nicht.<\/p>\n Also Vorsicht beim Anwenden von Mathematik f\u00fcr die Berechnung von Entscheidungsbasen.<\/p>\n Modelle, nach denen wir Entscheidungen treffen, werden in meinen Augen oft zu wenig bis gar nicht hinterfragt und validiert. Obwohl das so wichtig w\u00e4re, denn nicht passf\u00e4hige Modelle erzeugen nicht passf\u00e4hige Entscheidungen und damit nicht passf\u00e4hige Handlungen. Genau um diesen … Continue reading ![\"\"](\"http:\/\/blog-conny-dethloff.de\/wp-content\/uploads\/2019\/04\/Marc-Elsberg-Gier-188x300.png\")
<\/a><\/p>\nDas Spiel<\/span><\/h3>\n
Ergodizit\u00e4t<\/span><\/h3>\n
\n
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<\/a><\/p>\n\u00dcbertragung auf die \u00d6konomie<\/span><\/h3>\n
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